created: 2021/09/19 modified: 2021/09/25
概要
- 数学全般に言えることですが、難しく考えないことが大事です。
- 筆者は、難しいと思う数学は、学習しないことにしています。
全体集合
- 全体集合は、ほとんどの場合有限個の要素を持ちます。
- 簡単にするために全体集合を決めてしまいましょう。
- E＝｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}：これを全体集合にします。
- Eは、「全体集合ですよ」という記号です。
- ｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の0から9は、それぞれが１つの要素です。
- 結論：全体集合Eの全要素数は10個（0から9なので）です。
これだけ、覚えておいてください。
部分集合
- 全体集合Eの要素をいくつか選んだ集合を部分集合といいます。
- {0,1,2,3}や{2,3,6,8,9}は部分集合です。
- {0,1,15}は、部分集合ではありません。{15}は全体集合Eの要素ではないからです。
- ちなみに、｛0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}も部分集合とします。
階乗
- 記号！で表します。
- 4！＝1x2x3x4＝24になります。
- n！＝1x2x3x…xnになります。
- つまり、！の前の数値である4やnまで1から全てを掛け算するという意味です。
組み合わせ
- 全体集合Eからr個を選んだ部分集合の組み合わせ数はいくつでしょうか？という命題があったとします。
- 但し、同じ要素は1回しか選べません。
例
- 3個取り出す例（要素数r=3の部分集合）を考えます。
- {1,3,6}、{2,9,4}、{6,5,9}は、正しく組み合わせを選んでいます。
- {3,4,3}は、3を2回選択しているので正しくありません。
- {2,3}、{5,6,7,8}は3個以外を選択しているので正しくありません。
公式
- 深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
- 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、組み合わせの通り数を意味します。
順列
- 全体集合Eからr個を選んだ部分集合の順列はいくつでしょうか？という命題があったとします。
- 但し、同じ要素は1回しか選べません。
- 組み合わせと順列の違いは、要素の並びの順番です。
例
- 3個取り出す例（要素数r=3の部分集合）を考えます。
- {1,3,6}、{3,6,1}は、組み合わせの時は、同じ部分集合ですが、順列では違う部分集合になります。
公式
- 深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
- 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、順列の通り数を意味します。
組み合わせと順列の公式を使う
- 全体集合Eの要素数n=10、部分集合の要素数r=3で計算します。
- 組み合わせの時：10!/(3!x(10-3)!)=10!/(3!x7!)=3,628,800/(6x5,040)=120
- 順列の時：10!/(10-3)!=3,628,800/5,040=720
重複順列
- 順列の時は、同じ要素を1回しか選べませんでしたが、重複順列は何回選んでもOKです。
公式
- 深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
- 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、重複順列の通り数を意味します。
パスワードとの関連
- パスワードは重複順列です。
アルファベットの小文字だけのケース
- 全体集合の要素数はn=26になります。
- 4桁のパスワードの場合（部分集合r=4）
- 10桁のパスワードの場合（部分集合r=10）
アルファベット小文字/大文字 + 数字のケース
- 全体集合の要素数はn=62になります。
- 4桁のパスワードの場合（部分集合r=4）
- 10桁のパスワードの場合（部分集合r=10）
アルファベット小文字/大文字 + 数字 + 記号のケース
- 全体集合の要素数はn=93になります。
- 4桁のパスワードの場合（部分集合r=4）
- 10桁のパスワードの場合（部分集合r=10）
まとめ
- パスワードの強度に重要なのは、桁数です。
- 次に文字種です。
- 次のサイトを参考にしてください。
パスワード解析にかかる時間は1秒以下…(((；ﾟДﾟ))) 安全なパスワードの条件ってなに？ - 尚、筆者は重要なパスワードはノートに書いています。
