順列Pと組み合わせCの基礎と公式とpasswordとの関連

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created: 2021/09/19 modified: 2021/09/25

概要

  1. 数学全般に言えることですが、難しく考えないことが大事です。
  2. 筆者は、難しいと思う数学は、学習しないことにしています。

全体集合

  1. 全体集合は、ほとんどの場合有限個の要素を持ちます。
  2. 簡単にするために全体集合を決めてしまいましょう。
  3. E={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}:これを全体集合にします。
  4. Eは、「全体集合ですよ」という記号です。
  5. {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}の0から9は、それぞれが1つの要素です。
  6. 結論:全体集合Eの全要素数は10個(0から9なので)です。
    これだけ、覚えておいてください。

部分集合

  1. 全体集合Eの要素をいくつか選んだ集合を部分集合といいます。
  2. {0,1,2,3}や{2,3,6,8,9}は部分集合です。
  3. {0,1,15}は、部分集合ではありません。{15}は全体集合Eの要素ではないからです。
  4. ちなみに、{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}も部分集合とします。

階乗

  1. 記号!で表します。
  2. 4!=1x2x3x4=24になります。
  3. n!=1x2x3x…xnになります。
  4. つまり、!の前の数値である4やnまで1から全てを掛け算するという意味です。

組み合わせ

  1. 全体集合Eからr個を選んだ部分集合の組み合わせ数はいくつでしょうか?という命題があったとします。
  2. 但し、同じ要素は1回しか選べません。

  1. 3個取り出す例(要素数r=3の部分集合)を考えます。
  2. {1,3,6}、{2,9,4}、{6,5,9}は、正しく組み合わせを選んでいます。
  3. {3,4,3}は、3を2回選択しているので正しくありません。
  4. {2,3}、{5,6,7,8}は3個以外を選択しているので正しくありません。

公式

  1.  深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
  2. 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、組み合わせの通り数を意味します。

順列

  1. 全体集合Eからr個を選んだ部分集合の順列はいくつでしょうか?という命題があったとします。
  2. 但し、同じ要素は1回しか選べません。
  3. 組み合わせと順列の違いは、要素の並びの順番です。

  1. 3個取り出す例(要素数r=3の部分集合)を考えます。
  2. {1,3,6}、{3,6,1}は、組み合わせの時は、同じ部分集合ですが、順列では違う部分集合になります。

公式

  1. 深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
  2. 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、順列の通り数を意味します。

組み合わせと順列の公式を使う

  1. 全体集合Eの要素数n=10、部分集合の要素数r=3で計算します。
  2. 組み合わせの時:10!/(3!x(10-3)!)=10!/(3!x7!)=3,628,800/(6x5,040)=120
  3. 順列の時:10!/(10-3)!=3,628,800/5,040=720

重複順列

  1. 順列の時は、同じ要素を1回しか選べませんでしたが、重複順列は何回選んでもOKです。

公式

  1. 深く学習したい方以外は丸暗記でOKです。
  2. 式は、全体集合Eの要素数nから部分集合の要素数rを取り出した時の、重複順列の通り数を意味します。

パスワードとの関連

  1. パスワードは重複順列です。

アルファベットの小文字だけのケース

  • 全体集合の要素数はn=26になります。
  • 4桁のパスワードの場合(部分集合r=4)
  • 10桁のパスワードの場合(部分集合r=10)

アルファベット小文字/大文字 + 数字のケース

  • 全体集合の要素数はn=62になります。
  • 4桁のパスワードの場合(部分集合r=4)
  • 10桁のパスワードの場合(部分集合r=10)

アルファベット小文字/大文字 + 数字 + 記号のケース

  • 全体集合の要素数はn=93になります。
  • 4桁のパスワードの場合(部分集合r=4)
  • 10桁のパスワードの場合(部分集合r=10)

まとめ

  1. パスワードの強度に重要なのは、桁数です。
  2. 次に文字種です。
  3. 次のサイトを参考にしてください。
    パスワード解析にかかる時間は1秒以下…(((;゚Д゚))) 安全なパスワードの条件ってなに?
  4. 尚、筆者は重要なパスワードはノートに書いています。

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