作成日: 2023/04/02 更新日: 2023/05/09 サイトの紹介と使い方
初めに
- 基本的で基礎的な概算について簡単に記述します。
- 公式は流用あるいは変形だけで、証明などは行いなせん。
- 結果を得ることを最重要にします。
- できれば、結果の公式を表計算ソフトなどを使って試してみることをお勧めします。
概要
- ある巨大な数が、階乗表記で与えられた場合、その１０進数の桁数を概算します。
- 巨大な数とは、表計算ソフトなどでエラーとなる程度に大きな数です。
- また、桁数が１個や２個、１０個くらい違っても概算に影響はありません。
- 尚、スターリングの階乗の近似計算は、第１項だけを使っています。
桁数の計算
スターリングの公式
- logen! ≒ n*logen-n
階乗表記の数値の桁数
- 対数の公式：logea = log10a/log10e ----- ①
n! の１０進法の桁数：c = log10n! ----- ② - スターリングの公式を常用対数にするために、①を使うと、
左辺は、logen! = log10n!/log10e
右辺は、n*logen-n = n*log10n/log10e-n
つまり、log10n!/log10e = n*log10n/log10e-n - 両辺に log10e を乗じます。
log10n! = (n*log10n/log10e-n)*log10e = (n*log10n)-(n*log10e)
②からn! の１０進法の桁数は、c = (n*log10n)-(n*log10e)
階乗と桁数の例表
- 表の項目は、n! の n , 表計算は、表計算ソフトで計算した桁数、桁数は上述の計算式で計算した値です。
- 尚、n=170 は、表計算ソフトで計算できる最大値です。
361 は、=19*19 なので碁盤の目の数です。
| n | 表計算 | 桁数 |
| 10 | 7 | 6 |
| 30 | 33 | 31 |
| 100 | 158 | 157 |
| 170 | 307 | 305 |
| 361 | - | 766 |
| 1,000 | - | 2,566 |
| 10,000 | - | 35,657 |
最後に
- いかがだったでしょうか？
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